Percentuale

In matematica, una percentuale è un numero o un rapporto espresso sotto forma di frazione in centesimi ${\frac {x}{100}}$ .

Spesso è denotata dal simbolo di percentuale %.

Ad esempio, il numero $45\%$ (pronunciato "quarantacinque per cento") equivale alla frazione ${\frac {45}{100}}$ cioè al valore $0,45$ . Esso rappresenta cioè $45$ parti di $100$ , dove $100$ rappresenta il totale.

In maniera del tutto analoga a quanto sopra riportato, talvolta il totale è fissato a valori differenti dal $100$ . Il caso più diffuso è il "per mille" che rappresenta il totale con il numero $1000$ , ed è espresso dal simbolo ‰ (per mille); in ambito finanziario o chimico si usa anche la parte per milione (ppm).

La percentuale è usata nel quotidiano per definire rapidamente la parte di un totale $y$ . In questo caso, prendere " $x$ % di $y$ " equivale a dividere $y$ in cento parti uguali, e prenderne esattamente $x$ parti. A differenza di quanto si possa intuitivamente pensare, il valore percentuale non è limitato tra 0 e 100, ma può assumere anche valori superiori a 100 (ad esempio un incremento del $150\%$ ) o valori negativi (ad esempio una variazione del $-20\%$ )^[1].

Ad esempio

Il 32% di 2000 è calcolato come:

32\%\cdot 2000=0{,}32\cdot 2000=640.

Questa operazione è infatti del tutto equivalente a:

32\%\cdot 2000={\frac {32}{100}}\cdot 2000=32\cdot {\frac {2000}{100}}=640.

Storia ed etimologia

Il termine deriva dal latino per centum, che significa "per ogni cento". Fin dall'antichità, ancor prima dell'invenzione del sistema decimale, era pratica comune calcolare tasse e interessi sotto forma di frazioni di 100. L'imperatore romano Augusto, ad esempio, applicò una tassa del 1% sulle merci vendute all'asta, nota come centesima rerum venalium^[2].

Il simbolo moderno (%) si è evoluto nel corso dei secoli a partire dal Medioevo. Inizialmente, nei testi commerciali italiani, veniva scritta la dicitura "per cento" o "p. cento". Successivamente i mercanti abbreviarono la dicitura in "p c" con un piccolo cerchio o anello sopra la "c". Nel XVII secolo, l'abbreviazione si trasformò in una frazione stilizzata con due zeri separati da una linea orizzontale o diagonale, divenendo infine il simbolo % che conosciamo oggi.

Definizione matematica

La percentuale è una delle possibili rappresentazioni numeriche del rapporto tra due quantità ( $a$ e $b$ ), in cui la prima viene espressa in centesime parti della seconda. Trattandosi di un rapporto tra due grandezze omogenee, la percentuale è un numero adimensionale (puro).

Da un punto di vista formale, il calcolo della percentuale equivale a impostare una proporzione in cui il rapporto tra $a$ e $b$ è uguale al rapporto tra $n$ (la percentuale) e 100:

a:b=n:100

scrivibile anche come:

{\frac {a}{b}}={\frac {n}{100}}.

In questa formulazione:

la quantità $b$ (la base di riferimento che rappresenta il 100%) viene posta al denominatore;
la quantità $a$ (la parte da rapportare) viene posta al numeratore.

Operativamente, il valore percentuale $n$ si ottiene calcolando il quoziente della divisione tra le due quantità $a$ e $b$ e moltiplicando il risultato per 100:

n={\frac {a}{b}}\cdot 100.

Da ciò deriva la formula inversa per calcolare il valore di $a$ (la parte) conoscendo la percentuale $n$ e la base $b$ :

a={\frac {n}{100}}\cdot b.

Ad esempio, il 32% di 2000 si calcola come:

32\%\cdot 2000={\frac {32}{100}}\cdot 2000=0{,}32\cdot 2000=640.

L'uso della percentuale non è strettamente necessario dal punto di vista matematico, in quanto perfettamente equivalente all'uso delle frazioni o dei numeri decimali. Tuttavia, il suo impiego è universalmente diffuso poiché, riconducendo qualsiasi rapporto a una scala standardizzata (con base 100), rende immediato e intuitivo il confronto tra grandezze diverse, facilitandone la comprensione nella divulgazione di dati statistici, economici e scientifici.

Equivalenze notevoli

La percentuale è legata all'idea intuitiva di "quanti elementi $a$ trovo se estraggo a caso 100 elementi $b$ ". Molte percentuali comuni trovano immediato riscontro in frazioni semplificate.

Equivalenza tra alcune percentuali notevoli e le rispettive frazioni
100%	90%	80%	75%	70%	66,(6)%	60%	50%	40%	33,(3)%	30%	25%	20%	15%	12,5%	10%	5%	2%	1%	0,5%
¹⁄₁	⁹⁄₁₀	⁴⁄₅	³⁄₄	⁷⁄₁₀	²⁄₃	³⁄₅	¹⁄₂	²⁄₅	¹⁄₃	³⁄₁₀	¹⁄₄	¹⁄₅	³⁄₂₀	¹⁄₈	¹⁄₁₀	¹⁄₂₀	¹⁄₅₀	¹⁄₁₀₀	¹⁄₂₀₀

Variazione percentuale e punti percentuali

Un uso molto comune delle percentuali è la misurazione della variazione percentuale (incremento o decremento) di una grandezza nel tempo. La formula per calcolare la variazione percentuale di una quantità che passa da un valore iniziale $V_{i}$ a un valore finale $V_{f}$ è

{\text{Variazione }}\%={\frac {V_{f}-V_{i}}{|V_{i}|}}\cdot 100.

Ad esempio, se il prezzo di un bene passa da 50€ a 60€, l'incremento percentuale è ${\frac {60-50}{50}}\cdot 100=20\%$ .

Problemi con somme di percentuali (il punto percentuale)

Le somme e le sottrazioni di percentuali possono trarre in inganno se non si presta attenzione alla base di riferimento. Affinché un valore percentuale possa avere senso, è necessario sempre specificare quale sia il 100% rispetto al quale lo si calcola.

Quando si vuole indicare la semplice differenza aritmetica tra due valori espressi in percentuale, si utilizza il termine punto percentuale. Ad esempio, se il tasso di interesse di un mutuo passa dal 2% al 3%, è scorretto affermare che "il tasso è aumentato dell'1%" (poiché l'incremento relativo, calcolato con la formula della variazione percentuale, è in realtà del 50%). La dizione corretta è: "il tasso è aumentato di 1 punto percentuale".

Questa fallacia logica si applica a qualsiasi situazione in cui la base cambia. Ad esempio: se una stazione ha 2 binari e ne viene costruito un terzo, il numero dei binari è aumentato del 50% (il valore di riferimento iniziale è 2, e 1 è la sua metà). Se in un secondo momento il terzo binario viene rimosso (tornando a 2), i binari subiscono una riduzione del 33,3% (perché ora il valore di riferimento iniziale è 3, e 1 è un terzo di 3). Sebbene si sia aggiunto e poi tolto esattamente un binario, sommare algebricamente le percentuali (+50% e -33,3%) porterebbe all'errata conclusione che vi sia stato un aumento netto del 16,6%. Le percentuali non sono quasi mai sommabili perché si riferiscono a basi differenti.

Voci correlate

Note

↑ Percentuale in "Enciclopedia della Matematica", su www.treccani.it. URL consultato il 25 ottobre 2023.
↑ D. E. Smith, History of Mathematics, Vol 2, Courier Corporation, 1958, pp. 247-249.

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Percent, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) IUPAC Gold Book, "percent", su goldbook.iupac.org.

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[1] Percentuale in "Enciclopedia della Matematica", su www.treccani.it. URL consultato il 25 ottobre 2023.

[2] D. E. Smith, History of Mathematics, Vol 2, Courier Corporation, 1958, pp. 247-249.

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